Question

设函数，其中.
（1）若，求在的最小值；
（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；
（3）『附加题』是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

Answer 1

解：（1）由题意知，的定义域为，
时，由，得（舍去），
当时，，当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以…………7分
（2）由题意在有两个不等实根，
即在有两个不等实根，
设，则，解之得；…………14分
（3）对于函数，令函数
则，
所以函数在上单调递增，又时，恒有
即恒成立.取，则有恒成立.
显然，存在最小的正整数N＝1，使得当时，不等式恒成立…………17分

解析