题目内容

当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：
两边同时积分得：
从而得到如下等式：．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=    ．
【答案】分析：根据二项式定理得Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．
解答：解：二项式定理得Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，
对Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n
两边同时积分得：
从而得到如下等式：=
故答案为：．
点评：本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了．
练习册系列答案
相关题目
有下列几个命题：
①函数y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+
3x
)，则当x＜0时，f(x)=-x(1-
3x
)；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是
 
．（写出全部正确结论的序号）
若函数是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）的解析式是f（x）=x（1-x），则f（x）的解析式是
x(1-x)         x≤0
x(1+x)       x＞0
x(1-x)         x≤0
x(1+x)       x＞0
．
（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=
1
1-x

两边同时积分得：
∫
1
2
0
1dx+
∫
1
2
0
xdx+
∫
1
2
0
x2dx+…
∫
1
2
0
xndx+…=
∫
1
2
0
1
1-x
dx
从而得到如下等式：1×
1
2
+
1
2
×(
1
2
)2+
1
3
×(
1
2
)3+…+
1
n+1
×(
1
2
)n+1+…=ln2．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C
0
n
×
1
2
+
1
2
C
1
n
×(
1
2
)2+
1
3
C
2
n
×(
1
2
)3+…+
1
n+1
C
n
n
×(
1
2
)n+1=
1
n+1
[(
3
2
)n+1-1]
1
n+1
[(
3
2
)n+1-1]
．
已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，有（　　）
A、f（x）=-x（1+x）B、f（x）=-x（1-x）C、f（x）=x（1-x）D、f（x）=x（x-1）

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