Question

已知函数f(x)=

ax

x2+b

，在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间？
（Ⅲ）设直线l为曲线f(x)=

ax

x2+b

的切线，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的导数，由函数在x=1处取得极值，知当x=1时导数等于0，又因为极值为2，所以当x=2时函数值等于2，这样就可求出a，b的值．
（Ⅱ）要使区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，则区间（m，2m+1）为函数f（x）的增区间的子区间，先利用导数，求出函数f（x）的单调增区间，再比较（m，2m+1）区间端点与函数f（x）的单调增区间区间端点的大小即可．
（Ⅲ）因为曲线的切线的斜率就是函数在切点处的导数，所以要求切线斜率的范围，就是求曲线在切点处的导数的范围．求导，在借助二次函数求出范围即可．

解答：解：（Ⅰ）已知函数f（x）=

ax

x2+b

，∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．
又函数f（x）在x=1处取得极值2，∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

当a=4，b=1，∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

，
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，x＞1时，f'（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极值．∴f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值-2	↗	极大值2	↘

所以f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为[-1，1]．
若（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，则有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]时，（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）∵f(x)=

4x

x2+1

，∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

．
设切点为P（x₀，y₀），则直线l的斜率为k=f′(x0)=

4(x02+1)-8x02

(x02+1)2

=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]．
令

1

x02+1

=t，  t∈(0，  1]，则直线l的斜率k=4（2t²-t），t∈（0，1]，∴k∈[-

1

2

，  4]．

点评：本题考查了导数应用求极值，单调区间，以及导数的几何意义的应用．