题目内容
（07年北师大附中） 已知函数f (x ) = x4－4x3 + ax2－1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2
单调递减.
（1）求a的值；
（2）若点A (x0，f (x0))在函数f (x )的图像上，求证点A关于直线x = 1的对称点B也在函数f (x )的图像上；
（3）是否存在实数b，使得函数g (x ) = bx2－1的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.
解析：（1）由函数f (x ) = x4－4x3 + ax2－1在区间[0，1
单调递增，在区间[1，2单调递减，
∴ x = 1时，取得极大值，
∴ 
(1 ) = 0，( x ) = 4x3－12x2 + 2ax，
∴ 4－12 + 2a = 0 
a = 4.
（2）点A (x0，f (x0))关于直线x = 1的对称点B的坐标为 (2－x0，f (x0))，
f (2－x0) = (2－x0)4－4(2－x0)3 + 4 (2－x0)2－1
= (2－x0)2[(2－x0)－2]2－1
=
－4
+ a
－1 = f (x0)，
∴ A关于直线x = 1的对称点B也在函数f (x )的图像上.
（3）函数g (x ) = bx2－1的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点，等价于方程x4－4x3 + 4x2－1 = bx2－1恰有3个不等实根，
x4－4x3 + 4x2－1 = bx2－1 x4－4x3 + (4－b)x2 = 0.
∵ x = 0是其中一个根，
∴ 方程x4－4x3 + (4－b)x2 = 0有两个非零不等实根，
， b＞0且b≠4.
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＞3－
.
达到最大值时，点M的坐标为(p，h)