Question

如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE•CE=EF•EA．

Answer 1

分析：欲证明BE•CE=EF•EA．在圆中线段利用由切割线定理得EB²=EF•FA，进而利用四边形BODE中的线段，证得BE=CE即可．

解答：证明：因为Rt△ABC中，∠ABC=90°
所以OB⊥CB
所以CB为⊙O的切线（2分）
所以EB²=EF•FA（5分）
连接OD，因为AB=BC
所以∠BAC=45°
所以∠BOD=90°
在四边形BODE中，∠BOD=∠OBE=∠BED=90°
所以BODE为矩形（7分）
所以BE=OD=OB=

1

2

AB=

1

2

BC.
即BE=CE．
所以BE•CE=EF•EA．（10分）

点评：此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段以及切割线定理，属于基础题．