Question

如右图所示，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC₁的交点为N.求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC和NC的长.

Answer 1

(1)其对角线长为
.
(2) PC=P₁C=2,
NC=.

(1)正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为
.

(2)如右图所示，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连结MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线.
设PC=x，则P₁C=x.
在Rt△MAP₁中,
由勾股定理得(3+x)²+2²=29,
求得x=2.∴PC=P₁C=2,
∵,∴NC=.