题目内容

自圆x2+y2-2x-4y+4=0外一点P(0,4)向圆引两条切线,切点分别为A,B,则
PA
PB
等于
12
5
12
5
分析:由已知中P是圆C:x2+y2-2x-4y+4=0外的一点,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,我们可以先求出圆心和半径以及|
PC
|,进而表示出|
PA
|=|
PB
|,求出cos∠APB即可求出结论.
解答:解:∵圆C:x2+y2-2x-4y+4=0
可得圆的半径为1,C(1,2),连接CA,CP,CB如下图所示:
由条件得:|
PC
|=
(1-0) 2+(2-4) 2
=
5

则|
PA
|=|
PB
|=
PC
2
-AC2
=2.
∴cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC=1-2•(
1
5
2=
3
5

PA
PB
=|
PA
|•|
PB
|•cos∠APB=2×2×
3
5
=
12
5

PA
PB
等于
12
5

故答案为:
12
5
点评:本题考查的知识点是向量在几何中的应用,其中根据已知条件,得到
PA
PB
的表达式,是解答本题的关键.
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