Question

（1）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线l和曲线C：

x=s+ 1 s y=s- 1 s

（s为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．
（2）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）直线的参数方程为 

x = -3 +  3 2 s y =  1 2 s

   （s 为参数），曲线

x=s+ 1 s y=s- 1 s

可以化为  x²-y²=4．
将直线的参数方程代入上式，得  s2-6

3

s+ 10 = 0．
设A、B对应的参数分别为 s₁，s₂，∴s1+  s2= 6 

3

，s₁•s₂=10．
∴AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

=2

17

．
（2）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，当且仅当

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即 x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

时，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
故答案为：a≥4或a≤-2．