题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是矩形,侧棱
底面
,且
,
为棱
的中点,作
交
于点
.
(1)证明:平面
;
(2)若面与面
所成二面角的大小为
,求
与面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2).
【解析】
(1)先证,结合已知条件,即可求证;
(2)建立空间直角坐标系,由二面角大小求得长度,再用线面角的定义即可求解.
(1)因为平面
,
平面
,故
;
又因为四边形为矩形,故可得
;
又平面
,且
,
故可得平面
;
又因为平面
,故可得
,
又因为,
为
中点,故
,
结合平面
,
,
故可得平面
,
又因为平面
,则
.
由题可知,又
平面
,
,
即证平面
.
(2)因为平面
,且底面
为矩形,
故可得两两垂直.
则以为坐标原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,
如下图所示:
不妨设,故可得
,
由(1)中所得可知为平面
的法向量,
容易知是平面
的一个法向量.
又因为面与面
所成二面角的大小为
,
故可得,解得
.
又因为平面
,故可得
即为所求.
在中,
.
故与面
所成角的正弦值为
.
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