题目内容
如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞
）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
【答案】分析：（1）如图当通风窗在CD下方时，即
时，由平面几何知识，得
，可得MN=2（2a-1）x+1，再由三角形面积公式建立面积模型．当通风窗在CD的上方时，即
时，则MN=
，再由三角形面积公式建立面积模型．，
（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．
解答：解：（1）当
时，由平面几何知识，得
．
∴MN=2（2a-1）x+1，
∴S=f（x）=
．（3分）
当
时，
=
，
∴
（5分）
（2）当
时，S=f（x）=
．
∵
，
∴
，
∴
．
①
，当x=0时，
．
②a＞1，当
时，
．（7分）
当
时，
=
=
，
等号成立?
?
．
∴
时，
．（10分）
当
时，∵
，
∴
时．当x=0，
，
时，
当
，
．（12分）
a＞1时，
．
当
时，
．
综上，
时，当x=0时，
，
即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为
平方米．
时，
当
时，
，即MN与AB之间的距离为
米时，
三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为
平方米．（16分）
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了平面图形中的相似比，三角形面积公式，分段函数求最值以及二次函数法，基本不等式法，作差法等解题方法．
时，由平面几何知识，得，可得MN=2（2a-1）x+1，再由三角形面积公式建立面积模型．当通风窗在CD的上方时，即时，则MN=，再由三角形面积公式建立面积模型．，（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．
解答：解：（1）当
时，由平面几何知识，得．∴MN=2（2a-1）x+1，
∴S=f（x）=
．（3分）当
时，=
，∴
（5分）（2）当
时，S=f（x）=．∵
，∴
，∴
．①
，当x=0时，．②a＞1，当
时，．（7分）当
时，=
=，等号成立?
?．∴
时，．（10分）当
时，∵，∴
时．当x=0，，时，当
，．（12分）a＞1时，
．当
时，．综上，
时，当x=0时，，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为
平方米．时，当
时，，即MN与AB之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为
平方米．（16分）点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了平面图形中的相似比，三角形面积公式，分段函数求最值以及二次函数法，基本不等式法，作差法等解题方法．
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是等腰梯形，其中
米，梯形的高为
米，
米，上部
是个半圆，固定点
为
的中点．△
是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），
是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和
之间的距离为
米，试将三角通风窗
（平方米）表示成关于
；