题目内容

（2009•普陀区二模）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．
（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
分析：（1）当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，从而可求MN的长，由三角形面积公式求面积
（2）当MN在矩形区域内滑动，即x∈(0，
1
2
)时，由三角形面积公式建立面积模型．当MN在半圆形区域内滑动，即x∈(
1
2
，
3
2
)时，由三角形面积公式建立面积模型．
（3）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．
解答：解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=
3
米，所以S△EMN=
3
4
平方米，即三角通风窗EMN的通风面积为
3
4
平方米
（2）当MN在矩形区域内滑动，即x∈(0，
1
2
)时，△EMN的面积S=
1
2
×MN×(
1
2
-x)=
1
2
-x；
当MN在半圆形区域内滑动，即x∈(
1
2
，
3
2
)时，△EMN的面积S=(x-
1
2
)•
1-(x-
1
2
)2

综上可得S=f(x)=
-x+
1
2
，x∈(0
1
2
)
(x-
1
2
)•
1-(x-
1
2
)2
，x∈(
1
2
3
2
)
；
（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间(0，
1
2
)上单调递减，则f（x）＜f（0）=
1
2
；
当MN在半圆形区域内滑动，f(x)=(x-
1
2
)•
1-(x-
1
2
)2
≤
(x-
1
2
)2+[1-(x-
1
2
)2]
2
=
1
2
等号成立时，x=
1
2
(
2
+1)
因此当x=
1
2
(
2
+1)（米）时，每个三角形得到最大通风面积为
1
2
平方米．
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了三角形面积公式，分段函数求最值以及基本不等式法等解题方法．
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103
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4
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a
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1
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