Question

如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞

1

2

）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析：（1）如图当通风窗在CD下方时，即0≤x＜

1

2

时，由平面几何知识，得

MN-1

2a-1

=

x

1 2

，可得MN=2（2a-1）x+1，再由三角形面积公式建立面积模型．当通风窗在CD的上方时，即

1

2

＜x＜a+

1

2

时，则MN=2

a2-(x- 1 2 )2

，再由三角形面积公式建立面积模型．，
（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．

解答：解：（1）当0≤x＜

1

2

时，由平面几何知识，得

MN-1

2a-1

=

x

1 2

．
∴MN=2（2a-1）x+1，
∴S=f（x）=-(2a-1)x2+(a-1)x+

1

4

．（3分）
当

1

2

＜x＜a+

1

2

时，S=f(x)=

1

2

•2

a2-(x- 1 2 )2

•(x-

1

2

)
=

a2-(x- 1 2 )2

•(x-

1

2

)，
∴S=f(x)=

-(2a-1)x2+(a-1)x+ 1 4  x∈ [0 1 2 ) a2-(x- 1 2 )2 •(x- 1 2 )，x∈( 1 2 ，a+ 1 2 ).

（5分）
（2）当0≤x＜

1

2

时，S=f（x）=-(2a-1)x2+(a-1)x+

1

4

．
∵a＞

1

2

，
∴

a-1

2(2a-1)

-

1

2

=

-a

2(2a-1)

＜0，
∴

a-1

2(2a-1)

＜

1

2

．
①

1

2

＜a≤1，当x=0时，[f(x)]max=f(0)=

1

4

．
②a＞1，当x=

a-1

2(2a-1)

时，[f(x)]max=f[

a-1

2(2a-1)

]=

a2

4(2a-1)

．（7分）
当

1

2

＜x＜a+

1

2

时，S=f(x)=

1

2

•2

a2-(x- 1 2 )2

•(x-

1

2

)
=

a2-(x- 1 2 )2

•(x-

1

2

)=

(x- 1 2 )2[a2-(x- 1 2 )2]

≤

(x- 1 2 )2+[a2-(x- 1 2 )2]

2

=

1

2

a2，
等号成立?(x-

1

2

)2=a2-(x-

1

2

)2?x=

1

2

(

2

a+1)∈(

1

2

，a+

1

2

)．
∴当x=

1

2

(

2

a+1)时，[f(x)]max=

a2

2

．（10分）
当

1

2

＜a≤1时，∵

a2

2

-

1

4

=

1

2

(a+

2

2

)(a-

2

2

)，
∴

1

2

＜a≤

2

2

时．当x=0，[f(x)]max=f(0)=

1

4

，

2

2

＜a≤1时，
当x=

1

2

(

2

a+1)，[f(x)]max=

a2

2

．（12分）
a＞1时，

1

2

a2-

a2

4(2a-1)

=

4a-3

4(2a-1)

a2＞0．
当x=

1

2

(

2

a+1)时，[f(x)]max=

a2

2

．
综上，

1

2

＜a≤

2

2

时，当x=0时，[f(x)]max=f(0)=

1

4

，
即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为

1

4

平方米．a＞

2

2

时，
当x=

1

2

(

2

a+1)时，[f(x)]max=

a2

2

，即MN与AB之间的距离为x=

1

2

(

2

a+1)米时，
三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为

1

2

a2平方米．（16分）

点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了平面图形中的相似比，三角形面积公式，分段函数求最值以及二次函数法，基本不等式法，作差法等解题方法．