Question

如果椭圆

x2

36

+

y2

9

=1的弦被点（4，-2）平分，则这条弦所在的直线方程是

 

．

Answer 1

分析：设这条弦所在的直线与椭圆

x2

36

+

y2

9

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点（4，-2）是AB的中点，知x₁+x₂=8，y₁+y₂=-4，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²+4y²=36，得k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，由此能求出这条弦所在的直线方程．

解答：解：设这条弦所在的直线与椭圆

x2

36

+

y2

9

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点（4，-2）是AB的中点，
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=-4，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²+4y²=36，得

x12+4y12=36 x22+4y22=36

，
∴8（x₁-x₂）-16（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴这条弦所在的直线方程是y+2=

1

2

（x-4），
即x-2y-8=0．
故答案为：x-2y-8=0．

点评：本题考查圆锥曲线的中点弦问题，解题时要注意点差法的合理运用．