题目内容
【题目】已知抛物线
与椭圆
有一个相同的焦点，过点
且与
轴不垂直的直线
与抛物线
交于
，
两点，关于轴的对称点为
.
（1）求抛物线的方程；
（2）试问直线
是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.
（2）解法一：设直线
的方程为
与抛物线联立，得到
横坐标关系，设直线
的方程为
与抛物线联立，得到
横坐标关系,从而得到
的关系，找出定点.
解法二：直线的方程为
，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线的方程为
，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出
，得到定点.
（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为
，
所以
，所以抛物线的方程为；
（2）【解法一】因为点
与点
关于
轴对称
所以设
，
，
，
设直线的方程为
，
代入得：
，所以
，
设直线的方程为，
代入得：
，所以
，
因为
，
，所以
，即
，
所以直线的方程为
，必过定点
.
【解法二】
设，，
，
因为点与点关于轴对称，所以
，
设直线的方程为，
代入得：
，所以
，
设直线的方程为，
代入得：
，所以
，
因为，所以
，即
，
所以直线的方程为
，必过定点.
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