Question

如图，在正三棱锥A-BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFCH分别交 AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H。

（1）判定四边形EFCH的形状，并说明理由；
（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFCH？请给出证明。

Answer 1

解：（1）∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH=HC，
AD面ACD，
∴AD∥HG
同理EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∵三棱锥A-BCD是正三棱锥，
∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC
∴AD⊥BC
∴HG⊥EH
∴四边形EFGH是矩形；
（2）当时，平面PBC⊥平面EFGH
证明如下：作CP⊥AD于P点，连接BP，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD，
∴HC⊥面BCP，
∵HG面EFCH，
∴面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中 ，∠CAP=30° ，AC=a，
∴。