Question

8．设函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（　　）

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）单调递减
• B． f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）单调递减
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增
• D． f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）单调递增

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得φ的值，可得函数的解析式，从而得到它的单调性．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，
则$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$）．
再根据f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数，故φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
故取φ=$\frac{π}{4}$，函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x．
故f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）单调递减，
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．