题目内容
【题目】已知函数
(1)若是
的极值点,求
的极大值;
(2)求实数的范围,使得
恒成立.
【答案】(1)的极大值为
;(2)
时,
恒成立.
【解析】试题分析:(1)由于x=2是f(x)的极值点,则f′(3)=0求出a,进而求出f′(x)>0得到函数的增区间,求出f′(x)<0得到函数的减区间,即可得到函数的极大值;
(2)由于f(x)≥1恒成立,即x>0时,x2﹣(a+1)x+alnx≥0恒成立,设g(x)=
x2﹣(a+1)x+alnx,求出函数的导数,分类讨论参数a,得到函数g(x)的最小值≥0,即可得到a的范围.
(1)
是
的极值点,
解得
当时,
当变化时,
的极大值为
(2)要使得恒成立,即
时,
恒成立,
设,则
,
(ⅰ)当时,由
得函数
单调减区间为
,由
得函数
单调增区间为
,此时
,得
(ⅱ)当时,由
得函数
单调减区间为
,由
得函数
单调增区间为
,此时
不合题意.
(ⅲ)当时,
在
上单调递增,此时
不合题意
(ⅳ)当时,由
得函数
单调减区间为
,由
得函数
单调增区间为
,此时
不合题意.
综上所述:时,
恒成立.

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