Question

如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=,AB=a,在△ABC内作一系列的正方形,求所有这些正方形的面积和S.

Answer 1

分析：这个题目的关键点是每一个小三角形都相似,据此可以写出S_n与a_n的关系式,经过化简,再求极限.

解： 设第n个正方形的边长为an,则由三角形相似,可得(其中S_n=a₁+a₂+…+a_n).

因为AB=a,tanC=,所以BC=2a.

于是即S_n=2a-2a_n.

当n≥2时,有a_n=S_n-S_n-1=-2a_n+2a_n-1,

即3a_n=2a_n-1,

因为tanC=,所以AB=a=a₁+a₁.

所以a₁²=

所以数列{a_n²}是首项为,公比为的无穷等比数列，

S=(S₁+S₂+…+S_n)=

点评：解决与无穷数列各项和有关的应用问题，关键是由题意找准首项、公比，求出前n项和，再求极限.对于形如qⁿ的极限，当|q|<1时，可直接使用qⁿ=0这一运算法则；当|q|>1时，可将分子、分母同除以增长“最快”的项,先转化形式,再求极限.