Question

已知：函数f(x)=ax+

b

x

+c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f(1)=

5

2

，f(2)=

17

4

（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，

1

2

）上的单调性并说明理由；
（3）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=ax+

b

x

+c是奇函数，得到c=0，再由题中的2个等式建立关于a、b的方程组，解之即可得到a、b的值；
（2）区间（0，

1

2

）上任取两个自变量x₁、x₂，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，根据据单调性的定义可得f（x）=2x+

1

2x

在区间（0，

1

2

）上是减函数．
（3）根据（2）的结论，判断函数的单调性可得f（x）在区间（0，

1

2

）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数，因此可得函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（

1

2

）=2．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ax+

b

x

+c是奇函数，满足f（-x）=-f（x），∴c=0
∵

f(1)= 5 2 f(2)= 17 4

，∴

a+b= 5 2 2a+ b 2 = 17 4

，解之得a=2，b=

1

2

（2）由（1）可得f（x）=2x+

1

2x

∴f（x）=2x+

1

2x

在区间（0，0.5）上是单调递减的
证明：设任意的两个实数0＜x₁＜x₂＜

1

2

∵f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+

1

2x1

-

1

2x2

=2（x₁-x₂）+

x2-x1

2x1x2

=

(x2-x1)(1-4x1x2)

2x1x2

又∵0＜x₁＜x₂＜

1

2

∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜

1

4

，1-4x₁x₂＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0
即对任意0＜x₁＜x₂＜

1

2

，均有f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）=2x+

1

2x

在区间（0，

1

2

）上是减函数．
（3）由（2）得f（x）=2x+

1

2x

在区间（0，0.5）上是单调递减函数．
类似地可证出对任意x₁＞x₂＞

1

2

，均有f（x₁）＞f（x₂），
可得f（x）=2x+

1

2x

在区间（

1

2

，+∞）上是增函数．
因此，函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（

1

2

）=2．

点评：本题给出含有字母参数的基本初等函数，在已知函数的奇偶性情况下求参数的值，并讨论函数的单调性．着重考查了函数的简单性质和函数最值求法等知识，属于中档题．