题目内容

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，
且对一切x∈R，都有f（x）≤f(
π
12
)=4；
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若g（x）=f（
π
6
-x），求函数g（x）的单调增区间；
（3）若函数y=f（x）-3的图象按向量
c
=（m，n） （|m|＜
π
2
）平移后得到一个奇函数的图象，求实数m、n的值．
（1）∵f(x)=asinωx+bcosωx=
a2+b2
sin(ωx+φ)，又周期T=
2π
ω
=π∴ω=2
∵对一切x∈R，都有f（x）≤f(
π
12
)=4
∴
a2+b2
=4
asin
π
6
+bcos
π
6
=4
解得：
a=2
b=2
3

∴f（x）的解析式为f(x)=2sin2x+2
3
cos2x=4sin(2x+
π
3
)
（2）∵g(x)=f(
π
6
-x)=4sin[2(
π
6
-x)+
π
3
]=4sin(-2x+
2π
3
)=-4sin(2x-
2π
3
)（3）
∴g（x）的增区间是函数y=sin(2x-
2π
3
)的减区间
∴由2kπ+
π
2
≤2x-
2π
3
≤2kπ+
3π
2
得g（x）的增区间为[kπ+
7π
12
，kπ+
13π
12
]（k∈Z）（等价于[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]．
（3）m=
π
6
，n=3
练习册系列答案
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已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  则：
①f（3）的值为
0
0
，
②f（2011）的值为
-1
-1
．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，则f（3）=（　　）
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（　　）
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已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=（　　）
A、0B、2013C、3D、-2013

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