Question

已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）设直线l的斜率为k，当线段AB的长等于5时，求k的值．
（3）求抛物线y²=4x上一点P到直线2x-y+4=0的距离的最小值．并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），则|AF|=x₁+

p

2

，求出x₁，代入y²=4x，即可求点A的坐标；
（2）直线l的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立，利用|AB|=x₁+x₂+p=5，即可求k的值．
（3）设P（x，y），求出P到直线2x-y+4=0的距离，利用配方法求最值．

解答：解：由y²=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）|AF|=x₁+

p

2

，从而x₁=4-1=3．代入y²=4x，得y=±2

3

．
所以点A为（3，2

3

）或（3，-2

3

）
（2）直线l的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立，消去y，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0（*），
因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，
设其两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=2+

4

k2

．
由抛物线的定义可知，|AB|=x₁+x₂+p=4+

4

k2

=5，解得k=±2；
（3）设P（x，y），则P到直线2x-y+4=0距离为d=

|2x-y+4|

5

=

| y2 2 -y+4|

5

=

| 1 2 (y-1)2+ 7 2 |

5

∴y=1时，P到直线2x-y+4=0距离的最小值为

7 5

10

，此时P（0.25，1）．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离的运用，考查配方法，正确运用点到直线的距离公式是关键．