题目内容

已知二面角α-l-β的大小为50°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为(  )
A.2 B.3 C. 4D.5
B

分析:利用线面角的概念及角平分线的性质,分析出所求直线二面角的平分面上,再根据线面角的大小变化确定出直线条数.
解:首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等.
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上.
图1.
(1)如图1,过二面角α-l-β内任一点作棱l的垂面AOB,交棱于点O,与两半平面于OA,OB,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角,∠AOB=50°
设OP1为∠AOB的平分线,则∠P1OA=∠P1OB=25°,与平面α,β所成的角都是25°,此时过P且与OP1平行的直线符合要求,有一条.当OP1以O为轴心,在二面角α-l-β的平分面上转动时,OP1与两平面夹角变小,不再会出现25°情形.
图2.
(2)如图2,设OP2为∠AOB的补角∠AOB′,则∠P2OA=∠P2OB=65°,与平面α,β所成的角都是65°.当OP2以O为轴心,在二面角α-l-β′的平分面上转动时,OP2与两平面夹角变小,对称地在图中OP2两侧会出现25°情形,有两条.此时过P且与OP2平行的直线符合要求,有两条.
综上所述,直线的条数共有三条.
故选B.
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