Question

已知函数是定义在R上的奇函数，其反函数的图象过点，若x∈（-1，1）时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为________．

Answer 1

m≥2
分析：根据f（x）是奇函数，则f（0）=0，结合反函数图象经过的点的坐标，列出关于a，b的方程组，可求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式，再将x用y表示，最后交换x、y，即可求出反函数的解析式，从而得对x∈（-1，1）恒成立根据函数在（0，+∞）上的单调性建立不等式，将m分离出来，即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立，从而求出所求．
解答：∵f（x）是奇函数，∴，
∴a=b①…（2分）
又其反函数的图象过点，得原函数过点（1，），
∴②．
由①②得a=b=1．
记．整理得，
∴
上式两边取2为底的对数，，交换x、y，
故所求反函数…（8分）
从而对x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函数，
∴…（11分）
即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范围是m≥2…（13分）
故答案为：m≥2．
点评：本题主要考查了反函数，以及反函数与原函数的之间的关系，同时考查了恒成立问题和最值问题，是一道综合题．