题目内容

已知函数数学公式是定义在R上的奇函数,其反函数的图象过点数学公式,若x∈(-1,1)时,不等式数学公式恒成立,则实数m的取值范围为________.

m≥2
分析:根据f(x)是奇函数,则f(0)=0,结合反函数图象经过的点的坐标,列出关于a,b的方程组,可求出a,b的值,从而求出f(x)的解析式,再将x用y表示,最后交换x、y,即可求出反函数的解析式,从而得对x∈(-1,1)恒成立根据函数在(0,+∞)上的单调性建立不等式,将m分离出来,即m≥1-x对x∈(-1,1)恒成立,从而求出所求.
解答:∵f(x)是奇函数,∴
∴a=b①…(2分)
又其反函数的图象过点,得原函数过点(1,),
②.
由①②得a=b=1.
.整理得

上式两边取2为底的对数,,交换x、y,
故所求反函数…(8分)
从而对x∈(-1,1)恒成立
∵y=log2x是(0,+∞)上是增函数,
…(11分)
即m≥1-x对x∈(-1,1)恒成立
故m的取值范围是m≥2…(13分)
故答案为:m≥2.
点评:本题主要考查了反函数,以及反函数与原函数的之间的关系,同时考查了恒成立问题和最值问题,是一道综合题.
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