题目内容
【题目】已知函数,当
时,恒有
.当
时,
.
(Ⅰ)求证: 是奇函数;
(Ⅱ)若,试求
在区间
上的最值;
(Ⅲ)是否存在,使
对于任意
恒成立?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(1)令x=y=0,求出 f(0),令y=-x,可以得出f(-x)与f(x)的关系,从而判断出函数的奇偶性;(2)先判断函数的单调性,取值 ,赋值
,得出
,根据
,利用已知当
时,
.比较出
与
的大小,得出函数为增函数,求出函数在区间
上的最值;(3)根据函数为奇函数且为增函数,转化不等式,利用换元法简化不等式,利用极值原理求出m 的范围.
试题解析:
(Ⅰ)令,则
,
∴.令
,则
,
∴,即
为奇函数;
(Ⅱ)任取,且
,
∵,∴
,
∵当时,
,且
,∴
,即
,
∴为增函数,
∴当时,函数有最小值,
.
当时,函数有最大值,
;
(Ⅲ)∵函数为奇函数,
∴不等式
可化为,
又∵为增函数,∴
,
令,则
,
问题转化为在
上恒成立,
即对任意
恒成立,
令,只需
,
而,
∴当时,
,则
.
∴的取值范围是
.
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