题目内容
设函数f(x)=|x2-4x-5|.(1)在区间［-2,6］上画出函数f(x)的图像(如图)；
(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；
(3)当k＞2时，求证：在区间［-1,5］上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
思路分析：(1)可以利用对称变换作图法或将函数的解析式化为分段函数；(2)利用图像解不等式f(x)≥5；应用定义证明集合A和B之间的关系；(3)转化为证明：当k＞2时，在x∈［-1,5］上，kx+3k-f(x)＞0恒成立即可.
解：(1)f(x)=|x2-4x-5|=
其图像如图所示.
(2)方程f(x)=5的解分别是x=2
,0,4，2+
，观察(1)图，
可得f(x)≥5的解是x≤2
，或0≤x≤4，或x≥2+
.
则A={x|x≤2
，或0≤x≤4，或x≥2+
}.
∵2+
＜6，2
＞-2,
∴B
A.
(3)当x∈［-1,5］时，f(x)=-x2+4x+5.设g(x)=kx+3k-f(x)，
则g(x)=kx+3k-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5)=(x
)2
.∵k＞2,∴
＜1.又-1≤x≤5，
①当-1≤
＜1，即2＜k≤6时，取x=
，
g(x)min=
［(k-10)2-64］.
∵16≤(k-10)2＜64,∴(k-10)2-64＜0.则g(x)min＞0.
②当
＜-1，即k＞6时，取x=-1，g(x)min=2k＞0.
由①②，可知当k＞2时，在x∈［-1,5］上，g(x)＞0.
因此，在区间［-1,5］上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.
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