题目内容
（2013•唐山二模）某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．
（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．
附：K2=
．
（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．
| p（K2≥k0） | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
分析：（Ⅰ）由题意得列联表，可计算K2≈16.667＞10.828，可得结论；
（Ⅱ）可得语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是
，X～B（3，
），P（X=k）=
（
）k（
）8-k，k=0，1，2，3，计算可得各个概率，可得分布列，进而可得期望．
（Ⅱ）可得语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| C | k 8 |
| 3 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
解答：解：（Ⅰ）由题意得列联表：
因为K2=
≈16.667＞10.828，
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…（5分）
（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是
．
则X～B（3，
），P（X=k）=
（
）k（
）3-k，k=0，1，2，3．
X的分布列为
所以E（X）=3×
=
．…（12分）
| 语文优秀 | 语文不优秀 | 总计 | |
| 外语优秀 | 60 | 100 | 160 |
| 外语不优秀 | 140 | 500 | 640 |
| 总计 | 200 | 600 | 800 |
| 800(60×500-100×140)2 |
| 160×640×200×600 |
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…（5分）
（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是
| 3 |
| 8 |
则X～B（3，
| 3 |
| 8 |
| C | k 3 |
| 3 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| p |
|
|
|
|
| 3 |
| 8 |
| 9 |
| 8 |
点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及独立性检验，属中档题．
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