Question

（2013•唐山二模）在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2等于a_n+a_n+1除以3的余数，则{a_n}的前89项的和等于

100

．

Answer 1

分析：利用已知a₁=1，a₂=2，a_n+2等于a_n+a_n+1除以3的余数，即可得出a₃=0，a₄=2，a₅=2，a₆=1，a₇=0，a₈=1，…，其周期为8，故S₈₉=S₈×11+a₈₉=S₈×11+a₁

解答：解：∵a₁=1，a₂=2，a_n+2等于a_n+a_n+1除以3的余数，a₁+a₂=1+2=3=3×1，∴a₃=0．
∴a₂+a₃=2+0=2=3×0+2，∴a₄=2；
∴a₃+a₄=0+2=2=3×0+2，∴a₅=2；
∴a₄+a₅=2+2=4=3×1+1，∴a₆=1；
∴a₅+a₆=2+1=3=3×1+0，∴a₇=0；
∴a₆+a₇=1=3×0+1，∴a₈=1；
∴a₇+a₈=0+1=1=3×0+1，∴a₉=1；
∴a₈+a₉=1+1=2=3×0+2，∴a₁₀=2；
…，
可以看出：从a₉开始周期性的出现1，2，0，2，2，1，0，1，…．
故S₈₉=S₈×11+a₈₉=（1+2+0+2+2+1+0+1）×11+a₁=100．
故答案为100．

点评：利用已知正确找出其周期是解题的关键．