Question

20．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y²=x的一个交点的横坐标为x₀，若x₀＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 不妨设渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，与抛物线的交点为（x₀，y₀），x₀＞1，可得$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{0}}^{2}={x}_{0}}\\{{y}_{0}=\frac{b}{a}{x}_{0}}\end{array}\right.$，两式消去y₀可得ab的不等式，由双曲线的离心率可得．

解答 解：不妨设渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，与抛物线的交点为（x₀，y₀），x₀＞1，
则$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{0}}^{2}={x}_{0}}\\{{y}_{0}=\frac{b}{a}{x}_{0}}\end{array}\right.$，两式消去y₀可得$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=x₀＞1，
∴a²＞b²，∴a²＞c²-a²，∴2a²＞c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜2，∴e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{2}$，
又∵双曲线的离心率大于1，
∴双曲线C的离心率e的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）
故选：C

点评 本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线和抛物线的知识，属中档题．