题目内容

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合,过F2作与x轴垂直的直线交椭圆于S,T两点,交抛物线于C,D两点,且
|CD|
|ST|
=2
2

(I)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设Q(2,0),过点(-1,0)的直线l交椭圆E于M、N两点.
(i)当
QM
QN
=
19
3
时,求直线l的方程;
(ii)记△QMN的面积为S,若对满足条件的任意直线l,不等式S>λtan∠MQN恒成立,求λ的最小值.
分析:(Ⅰ)由抛物线方程,得焦点坐标,从而设出椭圆E的方程,求出|CD|,|ST|,利用条件,即可求得椭圆E的方程;
(Ⅱ)(i)分类讨论,设出直线方程,代入椭圆方程,利用向量的数量积公式及韦达定理,结合条件,即可求直线l的方程;
(ii)求出
QM
QN
的最大值是
17
2
,根据S≤λtan∠MQN恒成立,利用数量积公式,即可求λ的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由抛物线方程,得焦点F2(1,0),∴c=1.
∴椭圆E的方程为
x2
b2+1
+
y2
b2
=1

直线x=1代入抛物线方程,可得C(1,2),D(1,-2),∴|CD|=4
直线x=1代入椭圆方程,可得|ST|=
2b2
a

|CD|
|ST|
=2
2
,∴
2a
b2
=2
2

∵a2-b2=1
a=
2
,b=1

∴椭圆E的方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)(i)设M(x1,y1),N(x2,y2),则
QM
=(x1-2,y1),
QN
(x2-2,y2),
当直线l垂直于x轴时,x1=x2=-1,y1=-y2y12=
1
2

QM
QN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=9-y12=
17
2
19
3
,不合题意;
直线l的斜率存在时,设方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=-
4k2
1+2k2
,x1x2=
2k2-2
1+2k2

∵y1=k(x1+1),y2=k(x2+1)
QM
QN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+k(x1+1)•k(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4
=
17
2
-
13
2(1+2k2)
=
19
3

∴k2=1,∴k=±1
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0;
(ii)由(i)知,
QM
QN
=
17
2
-
13
2(1+2k2)
17
2

QM
QN
的最大值是
17
2

∵S≤λtan∠MQN恒成立,
1
2
|
OM
||
ON
|sin∠MQN
≤λ
sin∠MQN
cos∠MQN
恒成立
QM
QN
=
17
2
-
13
2(1+2k2)
>0
∴cos∠MQN>0
|
OM
||
ON
|cos∠MQN≤2λ
恒成立
QM
QN
≤2λ恒成立
2λ≥
17
2
,即λ≥
17
4

∴λ的最小值
17
4
点评:本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆、抛物线方程的位置关系,考查向量的数量积公式,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于难题.
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