Question

22.（Ⅰ）设｛a_n｝是集合｛2^t+2^s|0≤s＜t，且s，tZ｝中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…….

将数列｛a_n｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

（ⅰ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

（ⅱ）求a₁₀₀.

（Ⅱ）（本小题为附加题）

设｛b_n｝是集合｛2^t+2^s+2^r|0≤r<s<t，且r，s，tZ｝中所有的数从小到大排列成的数列.

已知b_k=1160，求k.

Answer 1

22.

（Ⅰ）解：（ⅰ）第四行        17           18           20           24

                             第五行         33           34           36           40           48

 

（ⅱ）解法一：设a₁₀₀=+，只须确定正整数t₀，s₀.

 

数列｛a_n｝中小于的项构成的子集为｛2^t+2^s|0≤s<t< t₀｝，

 

其元素个数为=，

依题意       ＜100.

 

满足上式的最大整数t₀为14，所以取t₀＝14.

 

因为100－＝s₀+1，由题意得s₀＝8.

 

∴a₁₀₀＝2¹⁴＋2⁸＝16640.

 

 

解法二：n为a_n的下标.

三角形数表第一行第一个元下标为1，

第二行第一个元下标为＋1＝2，……

第t行第一个元下标为＋1，第t行第s个元下标

 

为＋s，该元等于2^t+2^s－1.

 

据此判断a₁₀₀所在的行.

 

因为＜100≤，所以a₁₀₀是三角形数表第14行的第9个元

 

a₁₀₀＝2¹⁴＋2^9－1＝16640.

 

 

（Ⅱ）（本小题为附加题）

解：b_k=1160=2¹⁰+2⁷+2³，

令M＝｛cB|c<1160｝(其中，B＝｛2^t+2^s+2^r|0≤r<s<t｝)，

 

因M=｛cB |c<2¹⁰｝∪｛cB |2¹⁰<c<2¹⁰+2⁷｝∪｛cB |2¹⁰+2⁷<c<2¹⁰+2⁷+2³｝.

 

现在求M的元素个数：｛cB｜c<2¹⁰｝=｛2^t+2^s+2^r|0≤r<s<t<10｝，其元素个数为；

 

｛cB |2¹⁰<c<2¹⁰+2⁷｝=｛2¹⁰+2^s+2^r|0≤r<s<7｝，其元素个数为；

 

｛cB｜2¹⁰+2⁷<c<2¹⁰+2⁷+2³｝=｛2¹⁰+2⁷+2^r |0≤r<3｝，其元素个数为.

k=+++1=145.