Question

已知数列{a_n}的前n项和sn=n2+n，(n∈N+)，数列{b_n}满足bn+1=2bn-1，(n∈N+)且b₁=5
（1）求数列{a_n}{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n}的前n项和T_n，且cn=

1

an•log2(bn-1)

，证明：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）结合已知条件可得a₁=S₁=2，利用公式a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，再由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），由等比数列的定义可得{b_n-1}是以4为首项，2为公比的等比数列，从而可求b_n-1进一步可得b_n=2ⁿ⁺¹+1；
（2）确定数列通项，利用裂项求和可求先求T_n，进一步可证结论．

解答：（1）解：当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
当n=1时，2n=2=a₁，所以a_n=2n；
由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），又b₁-1=4≠0，
所以{b_n-1}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以b_n-1=（b₁-1）2^n-1=2ⁿ⁺¹，所以b_n=2ⁿ⁺¹+1；
（2）证明：cn=

1

an•log2(bn-1)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）
∴Tn＜

1

2

．

点评：本题主要考查已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式以及已知递推关系求通项，考查裂项法求和，考查不等式的证明，属于中档题．