Question

5．已知函数f（x）=2|x-3|+|x-4|，x∈[2，6]．若不等式|f（x）|＜2a的解集不是空集，则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用绝对值函数求出函数的值域，不等式|f（x）|＜2a的解集不是空集转化为2a＞1，求解即可．

解答 解：f（x）=2|x-3|+|x-4|，则
f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{3x-10，4≤x≤6}\\{x-2，3＜x＜4}\\{10-3x，2≤x≤3}\end{array}}\right.$所以1≤f（x）≤8，
因为不等式|f（x）|＜2a的解集不是空集，
所以2a＞1，a＞$\frac{1}{2}$，
即a的取值范围为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力以及转化思想的应用．