Question

（1）若函数f(x)=

2x2-2ax-a-1

的定义域为R，则实数a的取值范围

[-1，0]

．
（2）函数f（x）=log

1

2

|x2-6x+5|的单调递增区间为

（-∞，1），[3，5）

．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

2x2-2ax-a-1

的定义域为R，可得2x2-2ax-a-1≥0恒成立，从而问题转化x²-2ax-a≥0恒成立，从而可求实数a的取值范围是[-1，0]．
（2）由|x²-6x+5|＞0，解得：x≠1或x≠5，设u=|x²-6x+5|=|（x-3）²-4|，则函数在（-∞，1），[3，5）上是单调递减，利用“同增异减”，可得函数f（x）=log

1

2

|x2-6x+5|的单调递增区间．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

2x2-2ax-a-1

的定义域为R
∴2x2-2ax-a-1≥0恒成立
∴2x2-2ax-a≥20恒成立
∴x²-2ax-a≥0恒成立
∴4a²+4a≤0
∴-1≤a≤0
∴实数a的取值范围是[-1，0]．
（2）由|x²-6x+5|＞0，解得：x≠1或x≠5，
设u=|x²-6x+5|=|（x-3）²-4|，则函数在（-∞，1），[3，5）上是单调递减，
而要求的函数是以

1

2

为底的，根据“同增异减”，
那么函数f（x）=log

1

2

|x2-6x+5|的单调递增区间为（-∞，1），[3，5）
故答案为：（1）[-1，0]；
（2）（-∞，1），[3，5）

点评：本题考查的重点是函数的定义域，函数的单调性，解题的关键是将问题转化为恒成立问题，利用“同增异减”，解决复合函数的单调性问题．