Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x）））=0}，若A∩B≠∅且存在x₀∈B，x₀∉A则实数b的取值范围是

1. A.
   b≠0
2. B.
   b＜0或b≥4
3. C.
   0≤b＜4
4. D.
   b≤4或b≥4

Answer 1

B
分析：由f（f（x）））=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0，由此求得A={0，-b}．方程f（f（x）））=0即（x²+bx）（x²+bx+b）=0，解得x=0，或x=-b，或 x=．由于存在x₀∈B，x₀∉A，故b²-4b≥0，从而求得实数b的取值范围．
解答：由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合．
由f（f（x）））=0，可得 （x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0．
故函数f（x）=x²+bx，故由f（x）=0可得 x=0，或x=-b，故A={0，-b}．
方程f（f（x）））=0，即 （x²+bx）²+b（x²+bx）=0，即 （x²+bx）（x²+bx+b）=0，
解得x=0，或x=-b，或 x=．
由于存在x₀∈B，x₀∉A，故b²-4b≥0，解得b≤0，或b≥4．
由于当b=0时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，即实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4 }，
故选B．
点评：本题主要考查二次函数的性质，集合建的包含关系，注意检验集合中元素的互异性，属于基础题．