Question

已知x、y之间满足

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)
（1）方程

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)表示的曲线经过一点(

3

，

1

2

)，求b的值
（2）（理做文不做）动点（x，y）在曲线

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）上变化，求x²+2y的最大值．

Answer 1

分析：（1）把已知点代入椭圆的方程求得b．
（2）利用椭圆的方程可表示出x²，进而把x²+2y整理成关于y的函数解析式，分别看当

b2

4

≥b和

b2

4

+4≤b时x²+2y的最大值．

解答：解：（1）把点(

3

，

1

2

)代入

3 2

4

+

1

4b2

=1（b＞0）∴b=1
（2）根据

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)得x2=4(1-

y2

b2

)
∴x2+2y=4(1-

y2

b2

)+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)
当

b2

4

≥b时，即b≥4时（x²+2y）_max=2b+4当

b2

4

≤b时，即0≤b≤4时（x²+2y）_max=

b2

4

+4
∴（x²+2y）_max=

2b+4，(b≥4) b2 4 +4，(0≤b＜4)

点评：本题主要考查了曲线与方程的问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．