Question

观察等式
sin²10°+sin²50°+sin10°sin50°=

3

4

，
sin²20°+sin²40°+sin20°sin40°=

3

4

，
sin²30°+sin²30°+sin30°sin30°=

3

4

，
sin²70°+sin²（-10°）+sin70°sin（-10°）=

3

4

（1）总结上述等式的规律，写出具有一般规律的等式；
（2）证明（1）中的具有一般规律的等式．
参考公式：sin²a=

1-cos2α

2

，sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ-+sinαsinβ．

Answer 1

分析：（1）各式中三角函数名称均为正弦，角的构成是满足和为60°的两角，由此写出具有一般规律的等式．
（2）应利用倍角公式、两角和与差三角函数公式证明．

解答：解：（1）三角函数名称均为正弦，角的构成是满足和为60°的两角，由此具有一般规律的等式是
sin2θ+sin2(60°-θ)+sinθsin(60°-θ)=

3

4

（2）证明：左边=

1-cos2θ

2

+

1-cos(120°-2θ)

2

+sinθ(sin60°cosθ-cos60°sinθ)

=1-

cos2θ+sin2θ× 3 2 -cos2θ× 1 2 - 3 2 sin2θ+ 1 2 (1-cos2θ)

2

=1-

1 2

2

=

3

4

点评：本题考查合情推理中的归纳猜想，属于常规要求，还利用三角函数公式进行关系式的证明，考查公式的应用能力．