题目内容

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数且为增函数，f（1）=1．
求（1）f（0）的值；
（2）解不等式f（x+ $数学公式$ ）＜f（1-x）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

解：（1）∵f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0；…2（分）
（2）∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数且f（x+ $\text{[math]}$ ）＜f（1-x），
∴ $\text{[math]}$ …5（分）
∴ $\text{[math]}$ …7（分）
∴0≤x＜ $\text{[math]}$ ，
∴解集为：{x|0≤x＜ $\text{[math]}$ }…8（分）
（3）f（x）_max=f（1）=1…9（分）
f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]恒成立，则t²-2at+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，…10（分）
构造函数f（a）=-2ta+t²，则f（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或t=0…13（分）
解得：t≤-2或t=0或t≥2…14（分）
分析：（1）由f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数可得f（0）=0；
（2）由 $\text{[math]}$ 即可求得不等式f（x+ $\text{[math]}$ ）＜f（1-x）的解集；
（3）先求得f（x）_max=f（1）=1，将问题转化为：t²-2at+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，构造函数f（a）=-2ta+t²，则f（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，解关于t的不等式组即可．
点评：本题考查函数恒成立问题，难点在于（3）f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]恒成立，转化为t²-2at+1≥f（x）_max=1对a∈[-1，1]恒成立，突出考查化归思想与综合分析与应用的能力，属于难题．