Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n,S_n,S_n－成等比数列.
(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；
(3)求数列{a_n}前n项的和.

Answer 1

解：∵a_n,S_n,S_n－成等比数列，∴S_n²=a_n·(S_n－)(n≥2)                      (^*)
(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－
由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－
同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=
(2)①当n=1,2,3,4时，由(^*)知猜想成立.
②假设n=k(k≥2)时，a_k=－成立
故S_k²=－·(S_k－)
∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0
∴S_k= (舍)
由S_k+1²=a_k+1·(S_k+1－),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－)

由①②知，a_n=对一切n∈N成立.
(3)由(2)得数列前n项和S_n= .

略