题目内容

已知函数f(x)=
ax+b
x+1
的图象经过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若数列{an}满足an>0,a1=1,an+1=[f(
an
)]2
,求数列{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,设数列{an}的前n项和为Sn,试判断Sn与2的大小关系,并证明你的结论.
分析:(1)f(0)=0,可求b=0.所以f(x)=
ax
x+1
.由函数f(x)=
ax
x+1
=a-
a
x+1
图象关于点(-1,1)成中心对称,可求a
(2)因为an+1=[f(
an
)]2=(
an
an
+1
)2
,且an>0,整理可得
1
an+1
-
1
an
=1
.从而得到数列{
1
an
}
是等差数列,可求
(3)由n≥2时,an=
1
n2
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
,从而放缩结合裂项求和即可求
解答:解:(1)因为函数f(x)=
ax+b
x+1
的图象经过原点,
所以f(0)=0,即b=0.所以f(x)=
ax
x+1

因为函数f(x)=
ax
x+1
=a-
a
x+1
的图象关于点(-1,1)成中心对称,
所以a=1.所以f(x)=
x
x+1

(2)因为an+1=[f(
an
)]2=(
an
an
+1
)2
,且an>0,
所以
an+1
=
an
an
+1
,即
1
an+1
=1+
1
an
,即
1
an+1
-
1
an
=1

所以数列{
1
an
}
是首项为
1
an
=1
,公差为1的等差数列.
所以
1
an
=1+(n-1)×1=n
,所以an=
1
n2
(n∈N*).
(3)当n=1时,S1=a1=1<2;
当n≥2时,an=
1
n2
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n

所以Sn=a1+a2+a3+…+an=1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
<1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=2-
1
n
<2

综上所述,Sn<2(n∈N*).
点评:本题以函数中由函数的性质求解函数解析式为载体,重点考查了利用构造特殊数列(等差、等比)求解数列的通项公式,及裂项求和,要注意放缩法在解题中的应用.
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