题目内容
已知函数f(x)=
的图象经过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若数列{an}满足an>0,a1=1,an+1=[f(
)]2,求数列{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,设数列{an}的前n项和为Sn,试判断Sn与2的大小关系,并证明你的结论.
ax+b |
x+1 |
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若数列{an}满足an>0,a1=1,an+1=[f(
an |
(3)在(2)的条件下,设数列{an}的前n项和为Sn,试判断Sn与2的大小关系,并证明你的结论.
分析:(1)f(0)=0,可求b=0.所以f(x)=
.由函数f(x)=
=a-
图象关于点(-1,1)成中心对称,可求a
(2)因为an+1=[f(
)]2=(
)2,且an>0,整理可得
-
=1.从而得到数列{
}是等差数列,可求
(3)由n≥2时,an=
<
=
-
,从而放缩结合裂项求和即可求
ax |
x+1 |
ax |
x+1 |
a |
x+1 |
(2)因为an+1=[f(
an |
| ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
(3)由n≥2时,an=
1 |
n2 |
1 |
n(n-1) |
1 |
n-1 |
1 |
n |
解答:解:(1)因为函数f(x)=
的图象经过原点,
所以f(0)=0,即b=0.所以f(x)=
.
因为函数f(x)=
=a-
的图象关于点(-1,1)成中心对称,
所以a=1.所以f(x)=
.
(2)因为an+1=[f(
)]2=(
)2,且an>0,
所以
=
,即
=1+
,即
-
=1.
所以数列{
}是首项为
=1,公差为1的等差数列.
所以
=1+(n-1)×1=n,所以an=
(n∈N*).
(3)当n=1时,S1=a1=1<2;
当n≥2时,an=
<
=
-
,
所以Sn=a1+a2+a3+…+an=1+
+
+…+
<1+(1-
)+(
-
)+…+(
-
)=2-
<2.
综上所述,Sn<2(n∈N*).
ax+b |
x+1 |
所以f(0)=0,即b=0.所以f(x)=
ax |
x+1 |
因为函数f(x)=
ax |
x+1 |
a |
x+1 |
所以a=1.所以f(x)=
x |
x+1 |
(2)因为an+1=[f(
an |
| ||
|
所以
an+1 |
| ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
所以数列{
1 | ||
|
1 | ||
|
所以
1 | ||
|
1 |
n2 |
(3)当n=1时,S1=a1=1<2;
当n≥2时,an=
1 |
n2 |
1 |
n(n-1) |
1 |
n-1 |
1 |
n |
所以Sn=a1+a2+a3+…+an=1+
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n-1 |
1 |
n |
1 |
n |
综上所述,Sn<2(n∈N*).
点评:本题以函数中由函数的性质求解函数解析式为载体,重点考查了利用构造特殊数列(等差、等比)求解数列的通项公式,及裂项求和,要注意放缩法在解题中的应用.
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=a-
,若f(x)为奇函数,则a=( )
1 |
2x+1 |
A、
| ||
B、2 | ||
C、
| ||
D、3 |