题目内容

(本小题满分15分)过曲线C:外的点A(1,0)作曲线C的切线恰有两条,
(Ⅰ)求满足的等量关系;
(Ⅱ)若存在,使成立,求的取值范围.

(Ⅰ);(Ⅱ)

解析试题分析:(Ⅰ)
过点A(1,0)作曲线C的切线,设切点,则切线方程为:
代入得:
(*)   ……………………………………………………5分
由条件切线恰有两条,方程(*)恰有两根。
,显然有两个极值点x=0与x=1,
于是
时,
时, ,此时经过(1,0)与条件不符
所以           …………………………………………………………………8分
(Ⅱ)因为存在,使,即
所以存在,使,得,即成立
,问题转化为的最大值…………………………10分

,令
此时为增函数,当,此时为减函数,
所以的最大值为
的最大值,得
所以上单调递减,
因此。       ……………………………………………………15分
考点:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程;存在性问题。
点评:①求曲线的切线问题常利用导数的几何意义:在切点处的导数值为曲线的切线斜率,但要注意“在某点的切线”与“过某点的切线”的区别。②解决不等式恒成立问题或者存在性问题,常采用分离参数法转化为求函数的最值问题。

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