题目内容
（理）已知数列{an}的前n项和
，且
=1，
.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有
< f’(x)”．若且函数y=xn+1在(0,+∞)上是凹函数，试判断bn与bn+1的大小；
（III）求证：≤bn<2.
(文)如图，|AB|=2，O为AB中点，直线
过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.
（I）求点M的轨迹方程；
（II）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于
点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当ΔBPQ为
锐角三角形时t的取值范围．
（理）(1)Sn=an，∴Sn+1=an+1，an+1=Sn+1-Sn=an+1-an，∴= (n≥2) (2’)
∴==…==1，∴an+1=n，an=n-1 (n≥2)，又a1=0，∴an=n-1 (4’)
（2）bn+1=(1+ )n+1，bn=(1+ )n，
∵<(n+1)·(1+ )n (7’)
整理即得：(1+ )n<(1+ )n+1，即bn<bn+1 (8’)
(3)由(2)知bn>bn-1>…>b1= (10’)
又Cnr·()r=(··…)·()r≤()r，(0≤r≤n)，
∴bn≤1+ +()2+…+()n=2-()n<2，∴≤bn<2 (14’)
考点解析：这种“新概念”题需要较好的理解、分析能力，放缩法证明不等式是不等式证明的常用方法，也具有一定的灵活性，平时要注重概念的学习，常见题型的积累，提高思维能力和联想变通能力．
（文）（1）设A（a,0）,B(0,b),P(x,y),由
得
——2’
由
得点P轨迹方程为
——2’
当
时，C的方程为
——1’
设直线方程为
与C方程联立得
-1=0
易得
——2’
点Q到直线的距离为
——2’
得
，当且仅当
-2时——1’
S有最大值
——2’
