Question

（理）已知数列{a_n}满足a₁=2，前n项和为S_n，an+1=

pan+n-1(n为奇数) -an-2n(n为偶数)

．
（1）若数列{b_n}满足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），试求数列{b_n}前3项的和T₃；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_2n，试判断{c_n}是否为等比数列，并说明理由；
（3）当p=

1

2

时，对任意n∈N^*，不等式S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），结合 an+1=

pan+n-1(n为奇数) -an-2n(n为偶数)

可得数列{b_n}是一个等差数列，求出通项后，利用求和公式可求T₃
（2）当p=

1

2

时，易得数列{C_n}是一个等比数列，但是当p≠

1

2

时，数列{c_n}不为等比数列，根据等比数列的定义，代入易验证结论
（3）由（1）（2）的结论，利用等差数列的求和公式可求S_2n+1，结合{S_2n+1}单调性可求最大值，而S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，即S_2n+1最大值≤log

1

2

(x2+3x)，解不等式可求x

解答：解：（1）据题意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，
所以{b_n}成等差数列，故Tn=

-4-4n

2

•n=-2n（n+1）（4分）
∴T₃=-24
（2）（理）当p=

1

2

时，数列{c_n}成等比数列；
当p≠

1

2

时，数列{c_n}不为等比数列
理由如下：因为c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
所以

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，
故当p=

1

2

时，数列{c_n}是首项为1，公比为-

1

2

等比数列；
当p≠

1

2

时，数列{c_n}不成等比数列
（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差数列
当p=

1

2

时a2n=cn=(-

1

2

)n-1，
因为S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=2+（-4-8-12-…-4n）
=-2n²-2n+2（n≥1）
又S_2n+3-S_2n+1=-4n-4＜0所以{S_2n+1}单调递减
当n=1时，S₃最大为-2所以-2≤log

1

2

(x2+3x)
∴

x2+3x＞0 x2+3x≤4

⇒x∈[-4，-3)∪(0，1]

点评：本题考查的知识点是等比关系的确定，数列的求和，其中熟练掌握等差数列、等比数列的定义，能熟练的判断一个数列是否为等差（比）数列是解答本题的关键．