题目内容
【题目】已知△ABC的三边长成等差数列,公差为2,且最大角的正弦值为 ,则这个三角形的周长是( )
A.9
B.12
C.15
D.18
【答案】C
【解析】解:不妨设三角形的三边分别为a、b、c,且a>b>c>0, ∵由于公差为d=2,三个角分别为、A、B、C,
∴a﹣b=b﹣c=2,即:a=c+4,b=c+2,
∵sinA= ,
∴A=60°或120°.
∵若A=60°,由于三条边不相等,则必有角大于A,矛盾,
∴A=120°.
∴cosA= = = =﹣ .
∴c=3,
∴b=c+2=5,a=c+4=7.
∴这个三角形的周长=3+5+7=15.
故选:C.
设三角形的三边分别为a、b、c,且a>b>c>0,由于公差为d=2,三个角分别为、A、B、C,则a﹣b=b﹣c=2,a=c+4,b=c+2,因为sinA= ,所以A=60°或120°.若A=60°,因为三条边不相等,则必有角大于A,矛盾,故A=120°.由余弦定理能求出三边长,从而得到这个三角形的周长.
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