题目内容

当n∈N+且n≥2时，1+2+22+…+24n-1=5p+q（其中p，q∈N，且0≤q＜5），则q的值为（　　）
分析：因为当n∈N+且n≥2时，1+2+22+…+24n-1=5p+q，所以等式左边利用二次项定理化简得到左边能被5整除得到q=0．
解答：解：1+2+22+…+24n-1=（1+15）n-1=cn0+cn115+…+cnn15n-1=5（cn13+cn23×15+…+cnn3×15n-1）能被5整除，
而右边=5p+q，则余数q=0
故选A
点评：考查学生利用等比数列求和的能力．利用二次项定理的能力．
练习册系列答案
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已知定义在R上的函数f（x）和数列{an}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，an=f（an-1）且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）．
其中a、k均为非零常数．
（1）若数列{an}是等差数列，求k的值；
（2）令bn=an+1-an（n∈N*），若b1=1，求数列{bn}的通项公式；
（3）试研究数列{an}为等比数列的条件，并证明你的结论．
设函数f（x）=
x
x+2
（x＞0），观察：
 f1（x）=f（x）=
x
x+2
，
 f2（x）=f（f1（x））=
x
3x+4
，
 f3（x）=f（f2（x））=
x
7x+8
，
 f4（x）=f（f3（x））=
x
15x+16
，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=
 
．
设函数f（x）=ln
x+1
2
+
1-x
a(x+1)
(a＞0)．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当n∈N*且n≥2时，
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
＜ln n．
设函数f（x）=
x
x+2
（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=
x
x+2
，f2（x）=f（f1（x））=
x
3x+4
，f3（x）=f（f2（x））=
x
7x+8
，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn（x）=
x
(2n-1)x+2n
x
(2n-1)x+2n
．
设函数f(x)=
3x
x+3
，观察：f1(x)=f(x)=
3x
x+3
，f2(x)=f(f1(x))=
3x
2x+3
，f3(x)=f(f2(x))=
x
x+1
，f4(x)=f(f3(x))=
3x
4x+3
，…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=
 
．

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