Question

已知椭圆，过点且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的左右顶点，动点M满足，连接AM交椭圆于点P，在x轴上是否存在异于A、B的定点Q,使得直线BP和直线MQ垂直.

Answer 1

（1）；（2）存在，

解析试题分析：（1）由离心率，所以①，再把点代入椭圆中得：②，最后③，由①②③三式求出、，即可写出椭圆方程；
假设存在，设，则直线的方程， 可得， 并设定点，由，直线与直线斜率之积为-1，即 ，化简得 ，又因为 ，得，可求出，继而得到定点点坐标.
（1）由题意得：
 得 ，
所以，椭圆方程为
（2）设，则直线的方程，
可得，       
设定点，，
，即 ，  
                       
又因为，所以
进而求得，故定点为.           
考点：椭圆方程；直线与圆锥曲线的位置关系；是否存在问题.