题目内容
一个正四棱锥一个侧面面积与一个对角面面积相等,则侧面与底面所成二面角为( )
分析:设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a,高为h,用a,h表示出对角面的面积、侧面面积,作出侧面与底面所成锐二面角的平面角,求解即可.
解答:
解:设正四棱锥V-ABCD的底面边长为a,高为VO=h,斜高为VE,
如图,∠VEO为侧面与底面所成锐二面角的平面角.
对角面面积S△VAC=
×AC×VO=
×
a×h=
ah
侧面面积S△VBC=
BC×VE=
×a×
,
∵对角面的面积与侧面面积相等,
∴
ah=
a•
,
化简整理得h=
a,
tan∠VEO=
=1,
∴∠VEO=45°,
故选B.

如图,∠VEO为侧面与底面所成锐二面角的平面角.
对角面面积S△VAC=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
| ||
2 |
侧面面积S△VBC=
1 |
2 |
1 |
2 |
h2+
|
∵对角面的面积与侧面面积相等,
∴
| ||
2 |
1 |
2 |
h2+
|
化简整理得h=
1 |
2 |
tan∠VEO=
h | ||
|
∴∠VEO=45°,
故选B.
点评:本题考查正四棱锥的定义、性质,空间角的求解,考查了空间想象能力、计算能力,分析解决问题能力.

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