题目内容
【题目】设函数f(x)= ,关于x的方程[f(x)]2+mf(x)﹣1=0有三个不同的实数解,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,e﹣ )
B.(e﹣ ,+∞)
C.(0,e)
D.(1,e)
【答案】B
【解析】解:f′(x)= ,
∴当x>e时,f′(x)<0,当0<x<e时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,e]上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
∴fmax(x)=f(e)= .
作出f(x)的大致函数图象如下:
由图象可知当0<k 时,f(x)=k有两解,
当k≤0或k= 时,f(x)=k有一解,当k
时,f(x)=k无解.
令g(x)=x2+mx﹣1,则g(f(x))有三个零点,
∴g(x)在(0, )上有一个零点,在(﹣∞,0]∪{
}上有一个零点.
∵g(x)的图象开口向上,且g(0)=0,∴g(x)在(﹣∞,0)上必有一个零点,
∴g( )>0,即
,
解得m>e﹣ .
故选B.
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