Question

（1）等比数列{a_n}中，对任意n≥2，n∈N时都有a_n-1，a_n+1，a_n成等差，求公比q的值；
（2）设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，当S₃，S₉，S₆成等差时，是否有a₂，a₈，a₅一定也成等差数列？说明理由；
（3）设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，是否存在正整数k，使S_m-k，S_m+k，S_m成等差且a_n-k，a_n+k，a_n也成等差，若存在，求出k与q满足的关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 a_n-1+a_n=2a_n+1 ，1+q=2q² ，由此求得公比q的值．
（2）当q=1时S_n=na₁，显然3a₁，9a₁，6a₁不是等差数列，所以q≠1，由S₃，S₉，S₆成等差数列化简可得q3=-

1

2

，
可得a2+a2q3=2a2q6，a₂+a₅=2a₈，从而得出结论．
（3）当q=1时，检验不满足条件．所以q≠1，Sn=

a1(1-qn)

1-q

．由S_m-k，S_m+k，S_m成等差数列化简可得得 qk=-

1

2

，或q^k=1．分k为偶数、k为奇数两种情况，分别求出k与q满足的关系，从而得出结论．

解答：解：（1）当n≥2，n∈N时，a_n-1，a_n+1，a_n成等差，故有a_n-1+a_n=2a_n+1 ，1+q=2q²．
解得q=1或q=-

1

2

．…5分
（2）当q=1时S_n=na₁，显然3a₁，9a₁，6a₁不是等差数列，
所以q≠1，Sn=

a1(1-qn)

1-q

．由S₃，S₉，S₆成等差数列得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=2

a1(1-q9)

1-q

，
化简可得q³+q⁶=2q⁹，求得q3=-

1

2

 或q³=1（不合题意）所以q3=-

1

2

．
所以 1+q³=2q⁶，a2+a2q3=2a2q6，a₂+a₅=2a₈．
即一定有a₂，a₈，a₅成等差数列．…11分
（3）假设存在正整数k，使S_m-k，S_m+k，S_m成等差且a_n-k，a_n+k，a_n也成等差．
当q=1时S_n=na₁，显然（m-k）a₁，（m+k）a₁，ma₁不是等差数列，
所以q≠1，Sn=

a1(1-qn)

1-q

． …13分
由S_m-k，S_m+k，S_m成等差数列得

a1(1-qm-k)

1-q

+

a1(1-qm)

1-q

=2

a1(1-qm+k)

1-q

，
即 q^m-k+q^m=2q^m+k ，即 1+q^k=2q^2k． 解得 qk=-

1

2

，或q^k=1．…16分
当k为偶数时，q=-1，则有S_m-k=S_m+k=S_m且a_n-k=a_n+k=a_n．
当k为奇数时，qk=-

1

2

；∴1+q^k=2q^2k，∴an-k+an-kqk=2an-kq2k，
∴a_n-k+a_n=2a_n+k．
综上所述，存在正整数k（k＜m，k＜n）满足题设，当k为偶数时，q=-1；当k为奇数时，qk=-

1

2

．…18分．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．