题目内容

已知实数a1，a2，a3不全为零，
（i）则
a1a2+2a2a3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
的最大值为
 
；
（ii）设正数x，y满足x+y=2，令
xa1a2+ya2a3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
的最大值为M，则M的最小值为
 
．
分析：观察分式的分子和分母的代数式的不同，进行拆分a22项，构造均值不等式求最值．
解答：解：由题意知：
（1）
a1a2+2a2a3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
=
a1a2+2a2a3
 
a
2
1
+
1
5
a
2
2
 +
4
5
a
2
2
+
a
2
3

≤
a1a2+2a2a3
2
a
2
1
a
2
2
5
+2
4
a
2
2
a
2
3
5
 
=
a1a2+2a2a3
2
5
 ( a1a2 +2a2a3)

=
5
2

（2）
xa1a2+ya2a3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
=
xa1a2+ya2a3
a
2
1
+
x2
x2+y2
a
2
2
+
y2
x2+y2
a
2
2
+
a
2
3

≤
xa1a2+ya2a3
2
xa1a2
x2+y2
 +2
ya2a3
x2+y2
=
x2+y2
2

∴M=
x2+y2
2

即M≥
2
2
(
x+y
2
)=
2
2

∴M的最小值为 
2
2
． 
故（1）
5
2
  （2）
2
2
点评：本题对均值不等式的灵活熟练运用的程度要求比较高，属中档偏上题型．
练习册系列答案
相关题目
（2013•南通三模）已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4-a2=0，且a1＞a2＞a3，则a4的取值范围是
(
-1-
5
2
，
-1+
5
2
)
(
-1-
5
2
，
-1+
5
2
)
．
（2012•眉山二模）设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我们称S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn为两组实数的乱序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1为反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 为顺序和．根据排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若A=
x
2
1
+
x
2
2
+…+
x
2
n
，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正数，则A≤B；
③设正实数a1，a2，a3的任一排列为c1，c2，c3则
a1
c1
+
a2
c2
+
a3
c3
的最小值为3；
④已知正实数x1，x2，…，xn满足x1+x2+…+xn=P，P为定值，则F=
x
2
1
x2
+
x
2
2
x3
+…+
x
2
n-1
xn
+
x
2
n
x1
的最小值为
P
2
．
其中所有正确命题的序号为
①③
①③
．（把所有正确命题的序号都填上）

已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是     ．

 

已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是     ．

 

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