Question

（2012•眉山二模）设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≤b₂≤…≤b_n为两组实数，c₁，c₂，…，c_n是b₁，b₂，…，b_n的任一排列，我们称S=a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃+…+a_nc_n为两组实数的乱序和，S₁=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁为反序和，S₂=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n 为顺序和．根据排序原理有：S₁≤S≤S₂即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若A=

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

，B=x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁其中x₁，x₂，…x_n都是正数，则A≤B；
③设正实数a₁，a₂，a₃的任一排列为c₁，c₂，c₃则

a1

c1

+

a2

c2

+

a3

c3

的最小值为3；
④已知正实数x₁，x₂，…，x_n满足x₁+x₂+…+x_n=P，P为定值，则F=

x 2 1

x2

+

x 2 2

x3

+…+

x 2 n-1

xn

+

x 2 n

x1

的最小值为

P

2

．
其中所有正确命题的序号为

①③

．（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：对于①，利用定义求出数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和能判断①的对错；
对于②，不妨设x₁≤x₂≤…≤x_n，由乱序和≤顺序和，得x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁≤x₁²+x₂²+…+x_n²，由此能判断②的对错；
对于③，不妨设a₁≥a₂≥a₃＞0，则

1

a3

≥

1

a2

≥

1

a1

，由排序原理能判断③的对错；
对于④，由x₁≥x₂≥…≥x_n＞0，则x12≥x22≥…≥xn2，

1

x1

≤

1

x2

≤…≤

1

xn

，由此能判断④的对错．

解答：解：对于①，数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和S₁=2×7+4×5+6×3+8×1=60，故①对；
对于②，不妨设x₁≤x₂≤…≤x_n，由乱序和≤顺序和，得x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁≤x₁²+x₂²+…+x_n²，即B≤A，故②错；
对于③，不妨设a₁≥a₂≥a₃＞0，则

1

a3

≥

1

a2

≥

1

a1

，
由排序原理有

a1

c1

+

a2

c2

+

a3

c3

≥

a1

a1

+

a2

a2

+

a3

a3

=3，所以最小值为3，故③对；
对于④，由x₁≥x₂≥…≥x_n＞0，
则x12≥x22≥…≥xn2，

1

x1

≤

1

x2

≤…≤

1

xn

，
∴F≥

x12

x1

+

x22

x2

+…+

xn2

xn

=x₁+x₂+…+x_n=P，故④错．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．